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Interpolación y extrapolación lineal
31-10-2011, 06:18 PM (Este mensaje fue modificado por última vez en: 06-04-2012 05:33 PM por Fibonacci.)
Mensaje: #1
Interpolación y extrapolación lineal
Interpolación y extrapolación lineal


Concepto

Entendemos por interpolar, interpretar o aproximar un dato el cual no sabemos su imagen, o dicha de diferente manera interpolamos un dato de f(x) en un valor desconocido de x.
A continuación veremos unos ejemplos, donde demostraremos analíticamente el concepto de interpolar un valor.

Ejemplo (Interpolación)

Nuestro ejemplo consta de una variable y, donde y = f(x), y la variable x correspondiente. Donde y son los meses, y x son la cantidad de precipitaciones mensuales. Vemos en la siguiente tabla:

[Imagen: tabla-pre-2010-216902.JPG]

¿Que sucede en la tabla? Como podemos ver, la tabla está incompleta, ya que no tenemos el valor referente a las precipitaciones de Mayo. Entonces, gracias con la aplicación de interpolación, podremos calcular o aproximar el número de precipitaciones de mayo que no sabemos.

Gráficamente tenemos la siguiente información:

[Imagen: precipitaciones-anuales-2010-216893.png]

Para calcular el valor de mayo, utilizaremos la siguiente función.





Para calcular el pendiente m , primero tenemos que buscar dos valores aproximados, es decir que estén alrededor del valor y desconocido. Estos intervalos son (4,29'2) y (6,8'8).



Completamos nuestra función afín:



Como vemos, la función aún está incompleta para predecir un resultado, por lo tanto tenemos que escoger un de estos dos puntos: (4,29'2) y (6,8'8), es lo mismo uno que otro, el resultado dará igual. Escojemos el primero (4,29'2), y sustituimos:







La función nos queda como:
Ahora solo nos queda sustituir en la ecuación, el valor X que queriamos buscar.





Completando la gráfica obtenemos la siguiente recta que hemos interpolado (y=19)

[Imagen: prec-216897.png]

Posibles errores

Hemos de tener en cuenta el uso real de las variables, en nuestro caso, la representación gráfica de la variable (precipitación) no es analíticamente correcta, ya que las precipitaciones mensuales pueden ser aleatorias, y no tienen porqué tener relación con el mes posterior o el mes anterior. Además estamos tomando valores numéricos para la variable (año) expresada en meses, la cual no tiene relación.
Desde INTA: Fuente oficial de precipitaciones, comprobamos que para el mes de mayo las precipitaciones no fueron de 19, sino de 144. De esta manera se comprueba, que la relación de las precipitaciones entre los meses de un año es prácticamente nula. La relación mensual no debe ser del 0 %, ya que podemos comprobar normalmente que las precipitaciones se van incrementando en diferentes períodos del año.

Ejemplo (Extrapolación)

El objetivo o análisis de la extrapolación a diferencia de la interpolación, es en encontrar un valor de f(x), que no esté rodeado entre dos valores. Siempre se extrapolará un valor que esté al principio o al final de los datos de una variable.

Vemos en el ejemplo:

[Imagen: tabla-2-216901.JPG]

A continuación veamos la tabla gráficamente:

[Imagen: graf2-216898.png]

¿Cómo encontramos la imagen del día cinco? de forma similar al procedimiento de interpolación. Esta vez como no tenemos dos puntos alrededor del valor estudiado, tendremos que coger los dos último valoras para extrapolar un valor aproximado.





Completamos nuestra función afín:



Para predecir un resultado, tenemos que escoger un de estos dos puntos: (3,3400) o (4,1750), escojamos el que escojamos, el resultado será el mismo. Escogemos (4,1750), y sustituimos:







Ahora predecimos los ingresos del día cinco:







Comprensión de los resultados

La extrapolación a diferencia de la interpolación es menos precisa en la toma de decisiones, ya que nunca es posible predecir con total seguridad fenómenos aleatorios como en el ejemplo. En nuestra caso matemáticamente, se está afirmando que los ingresos del día 5 serán de 100. El resultado no es demasiado susceptible, ya que para el cálculo toma los días con un valor numérico, sin tener ninguna relación con los ingresos. De todas maneras, la intención de estas aproximaciones es su uso como herramienta matemática.

En el siguiente gráfico podemos ver el ingreso inferido del día 5.

[Imagen: graf3-216899.png]

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