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Ejercicios resueltos de probabilidad condicionada
26-10-2012, 04:08 AM (Este mensaje fue modificado por última vez en: 23-02-2013 09:40 PM por Fibonacci.)
Mensaje: #1
Ejercicios resueltos de probabilidad condicionada
Ejercicios resueltos de probabilidad condicionada


Cita:Ejercicio 1. En una fábrica se utilizan tres máquinas A,B y C par producir independientemente el mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200 y la C 300, y todas las cajas contienen el mismo número de artículos. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0,06 para la máquina A, 0,02 para la B y 0,01 para la C. De la producción de un día se escoge al azar una caja y se extrae un artículo de esta caja también al azar. Calcular la probabilidad:
a)Que el articulo escogido sea defectuoso.
b)Que el articulo escogido haya sido fabricado por la máquina B, sabiendo que es defectuoso.

Respuesta.

a) El enunciado nos muestra que P(A)=1/6, P(B)=1/3, P©=1/2.
Usando la fórmula de las probabilidades totales se obtienen la probabilidad pedida:





b) Utilizamos el teorema de Bayes para solucionar este apartado.



Cita: Ejercicio 2. Sean tres urnas con las siguientes composiciones de bolas blancas y negras:

U1:[3 blancas y 2 negras]
U2:[4 blancas y 2 negras]
U3:[1 blanca y 4 negras]

Calcúlense:

a) Probabilidad de extraer bola blanca.
b) Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la segunda urna.

Respuesta.

a) Las tres urnas son equiprobables es decir tienen la misma probabilidad de ser escogidas.



Por el teorema de la probabilidad total

P(blanca)=P(blanca/U1)·P(U1)+P(blanca/U2)·P(U2)+P(blanca/3)·P(U3)=

.

b)Por el teorema de Bayes



La probabilidad que una bola escogida al azar sea negra se puede determinar del mismo modo que en el caso de la probabilidad de blanca. Por el teorema de la probabilidad total tenemos que:






La probabilidad de negra es igual a la probabilidad de no blanca.

1-P(blanca)=P(negra)



Cita:Ejercicio 3. A un examen de Estadística se presentan alumnos de 4 grupos diferentes:
Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35 % son mujeres.
Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25 % son mujeres.
Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80 % son varones.
Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85 % son varones.

Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0,1333. ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C?

Respuesta. Denotemos por A, B, C y D los sucesos (pertenecer a los grupos A,B,C y D), respectivamente. Denotemos por varón y mujer los sucesos (el alumno elegido es mujer) y (el alumno elegido es varón), respectivamente.
Sabemos que



y, aplicando el teorema de Bayes



Por el teorema de la probabilidad total, teniendo en cuenta que 80+70+60=210,

P(mujer)=P(A)+P(B)·P(mujer/B)+P©·P(mujer/C)+P(D)·P(mujer/D)=



Por tanto,



Operando obtenemos que k=65.

Cita:Ejercicio 4. Se dispone de 101 cajas numeradas de 0 a 100 con los contenidos siguientes: en la caja número 0 hay 100 bolas blancas, en la caja número 1 hay 99 de blancas y una de negra, la caja número 2 contiene 98 bolas blancas y 2 bolas negras i así sucesivamente. La última caja, la número 100, contiene bolas negras. Se escoge al azar una caja y se extrae una bola al azar. Si la bola es blanca, ¿cuál es la probabilidad que la caja escogida haya sido la número 34?

Respuesta.

El experimento que se lleva a cabo, en este ejercicio se puede dividir en diversos pasos, en un primer paso se escoge la caja y en un segundo paso se escoge la bola de la caja escogida. Llamaremos C_k al suceso que consiste en el hecho que se escoge la caja número k (k=0,1,2,3,...,100), el suceso B correspondo al hecho que la bola escogida sea blanca y N el suceso que consiste en que la bola escogida sea negra. Entonces:







Utilizando el teorema de Bayes se obtiene:



Siendo el denominador:



Se debe utilizar la fórmula que expresa la suma de los n primeros números de una progresión aritmética. Entonces:

.
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