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Conjuntos de Borel: Volumen de un conjunto de Borel
22-06-2013, 09:19 PM
Mensaje: #1
Conjuntos de Borel: Volumen de un conjunto de Borel
[Imagen: cqpl.png]
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25-06-2013, 01:01 PM (Este mensaje fue modificado por última vez en: 25-06-2013 01:02 PM por A. Bellmunt.)
Mensaje: #2
RE: Conjuntos de Borel: Volumen de un conjunto de Borel
Es muy importante la distinción entre "una" y "la". A ti te definen qué es una función de medida, pero en ningún momento te dicen que sea única. Después te dicen que entre todas ellas hay una sola que cumpla la propiedad del producto de intervalos.

Respondiendo a tus preguntas:

1. Lo que has definido al principio es una función de medida que encima tiene una propiedad extra. Teniendo claro eso debería ser obvio para qué sirve: ¡será mucho mas fácil medir productos de conjuntos!

2. Con estos ejemplos te quieren mostrar algunas propiedades de las medidas. Si entiendes bien cada uno de ellos habrás aprendido mucho sobre medidas.
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alfred_oh (06-27-2013)
27-06-2013, 11:50 AM
Mensaje: #3
RE: Conjuntos de Borel: Volumen de un conjunto de Borel
(25-06-2013 01:01 PM)A. Bellmunt Escribió:  Es muy importante la distinción entre "una" y "la". A ti te definen qué es una función de medida, pero en ningún momento te dicen que sea única. Después te dicen que entre todas ellas hay una sola que cumpla la propiedad del producto de intervalos.

Respondiendo a tus preguntas:

1. Lo que has definido al principio es una función de medida que encima tiene una propiedad extra. Teniendo claro eso debería ser obvio para qué sirve: ¡será mucho mas fácil medir productos de conjuntos!

2. Con estos ejemplos te quieren mostrar algunas propiedades de las medidas. Si entiendes bien cada uno de ellos habrás aprendido mucho sobre medidas.

Gracias por responder antes que nada! Lo que voy entendiendo es lo siguiente:
La función de medida que me dan al principio "mide" los intervalos donde está definido el conjunto de Borel ya que el puede estar definido en R, R^2, R^3, etc. Si está definido en R sólo podemos hablar de la longitud del cjto de Borel. Si pasamos a R^2 entramos a lo que sería el area del conjunto de Borel y si estamos en R^3 tendríamos que calcular el volumen del conjunto de Borel. Por eso lo del multiplicatorio, entiendo que "b" es el extremo mayor del intervalo en la i-dimensión y "a" es el extremo menor. Hasta ahí lo que he entendido. Aplicando esto a los ejemplos:
u({x})=0 porque todo intervalo formado por un elemento da 0, pues b=a entonces b-a=0.

u(Q)=0 pues el extremo positivo de Q será igual al extremo negativo de Q entonces al restarlos da 0.

u([0,1]\Q)=1 ya que existe un numero irracional muy cercano a 1 (casi uno) y otro muy cercano a 0 (casi cero) por lo tanto al hacer la resta de tales números me daría aproximadamente 1

Voy bien encaminado? De todas maneras, me podrías recomendar apuntes o bibliografía con los que pueda entender BIEN por lo menos los ejemplos? Muchas gracias
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28-06-2013, 01:06 AM
Mensaje: #4
RE: Conjuntos de Borel: Volumen de un conjunto de Borel
Cita:u(Q)=0 pues el extremo positivo de Q será igual al extremo negativo de Q entonces al restarlos da 0.

No tiene sentido hablar del "extremo positivo" y el "extremo negativo" de Q. Si lo piensas un segundo, tu mismo te darás cuenta que eso no significa nada.. La razón por la cual u(Q) es cero es que Q es una unión numerable de conjuntos disjuntos de medida 0 (mira el 3r axioma de medida).

Cita:u([0,1]\Q)=1 ya que existe un numero irracional muy cercano a 1 (casi uno) y otro muy cercano a 0 (casi cero) por lo tanto al hacer la resta de tales números me daría aproximadamente 1

Tampoco va por ahí la cosa. Quítate de la cabeza esa interpretación de "restar extremos" (eso sólo vale para intervalos) e intenta ceñirte a los axiomas que te dan. En este caso [0,1] tiene medida 1 i Q tiene medida 0. Luego [0,1]\Q tiene medida 1.

Cita:Me podrías recomendar apuntes o bibliografía con los que pueda entender BIEN por lo menos los ejemplos? Muchas gracias

Cualquier libro de introducción a la teoría de la medida debería servirte. En su momento yo usé el "Análisis Matemático" de Tom M. Apostol, que es un clásico.
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